Bayesianismus
Bayesianismus označuje v matematice specifické pojetí teorie pravděpodobnosti. Mluví se tedy většinou o bayesovské pravděpodobnosti či bayesovské statistice. Toto odvětví je pojmenováno podle anglického duchovního a matematika Thomase Bayese (1701–1761). V centru celé teorie stojí tzv. Bayesova věta či Bayesův teorém. Ten udává, jak se vzájemně ovlivňují dvě opačné podmíněné pravděpodobnosti.
Obsah |
Život a dílo Thomase Bayese
Datum narození Thomase Bayese není přesně známé, obvykle se nicméně uvádí rok 1701. Thomas pocházel z uznávané rodiny nonkonformistů ze Sheffieldu v severní Anglii. Jeho otcem byl duchovní Joshua Bayes, matkou Anne Carpenterová (Bellhouse 2001, 2–4). Thomas studoval na univerzitě v Edinburghu a připravoval se na dráhu presbyteriánského kněze (Bellhouse 2001, 6). Po studiích pracoval spolu s otcem v presbyteriánské kapli na Leather Lane v Londýně, a to až do roku 1734, kdy odešel do Tunbridge Wells (Bellhouse 2001, 8). Roku 1742 se Thomas Bayes stal členem prestižní The Royal Society of London for Improving Natural Knowledge (Bellhouse 2001, 17). Zemřel náhle, roku 1761 ve věku 59 let (Bellhouse 2001, 27).
Thomas Bayes napsal několik teologických prací. První publikace pochází z roku 1731
a jmenuje se Divine Benevolence. Bayes v ní boží činnost zdůvodňuje boží dobrotivostí (Bellhouse 2001, 10n). Roku 1736 obhajoval ve spise An Introduction to the Doctrine of Fluxions Newtonův diferenciální počet proti kritice George Berkeleyeho. Ve svých matematických pracích se Bayes zabýval zejména nekonečnými řadami a pravděpodobností (Bellhouse 2001, 19–20). Kromě toho se věnoval rovněž geometrii, trigonometrii, rovnicím
a diferenciálům (Bellhouse 2011, 23).
Bayesova věta a bayesovská statistika
Bayesova věta byla poprvé formulována v posmrtně vydaném Bayesově textu „An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances“ roku 1763 (Bayes 1763). Reflektuje souvislost podmíněné pravděpodobnosti P(A|B) a opačné (inverzní) podmíněné pravděpodobnosti P(A|B) a vyjadřuje jejich vztah.
| P (A|B) = | P (B |A) × P (A) |
| P (B) |
Jako příklad může posloužit dveřní rám v obchodě, který by se měl rozezvučet, pokud se pokusí projít zloděj se zbožím, které nemá deaktivovaný čip. Systém spustí alarm v 95 % případů, kdy prochází někdo s kradeným zbožím. V 5 % se ale deaktivace čipu z nějakého důvodu nepovede a poplach bude spuštěn i při projití s legálně zakoupeným zbožím. Statisticky jsou 3 % návštěvníků zloději a ostatní chtějí zboží normálně zakoupit. Otázka nyní zní, jaká je pravděpodobnost, že alarm správně upozorní na kradené zboží.
Máme tyto výchozí hodnoty:
P(A) …. pravděpodobnost, že je zboží kradené.
P(¬A) …. pravděpodobnost, že zboží není kradené.
P(A|B) …. pravděpodobnost, že je zboží kradené, a tudíž se spustí alarm.
P(B|A) …. pravděpodobnost, že se spustí alarm, když je zboží kradené.
P(B|¬A)…. pravděpodobnost, že se spustí alarm, když zboží není kradené.
a …. relativní množství zlodějů.
b …. relativní množství poctivě nakupujících.
P(B) …. pravděpodobnost, že se spustí alarm.
P(B) přitom vypočítáme jako součet šancí na spuštění alarmu při průchodu s kradeným
i s nekradeným zbožím:
P(B) = a × P (B |A) + b × P (B |¬A) = 0.03×0.95 + 0.97×0.05 = 0.077
Nyní dosadíme hodnoty do Bayesovy věty:
| P (A|B) = | P (B |A) × P (A) | = | 0.95 × 0.03 | = | 0.0285 | ≈ 0.3701 |
| P (B) | 0.077 | 0.077 |
Zjistili jsme tedy, že v případě spuštěného alarmu je v našem příkladu pouze 37% šance, že jde skutečně o zloděje. Toto je poměrně protiintuitivní výsledek. Protiintuitivnost výsledku je zřejmě založena na tom, že si málokdo hned uvědomí, že skupina poctivě nakupujících je zde více než třicetkrát početnější než skupina zlodějů, čímž se do velké míry srovnává rozdíl mezi vyšší šancí na spuštění alarmu u zloděje než u poctivě nakupujícího.
U metod detekujících např. nemoci je problém podobný: šance, že metoda nemoc chybně indikuje u zdravého člověka je sice procentuálně malá, ale na druhou stranu zdraví lidé tvoří mnohem větší relativní skupinu. I při vysoké míře senzitivity (pozitivní výstup při reálné existenci hledaného jevu) i specificity (vyloučení neexistencí hledaného jevu) při medicínských či drogověprevenčních testech může nastávat situace, že je pravděpodobnost správné detekce nízká.
Bayesovská statistika je alternativou ke klasické statistice. Výhodou bayesovské statistiky je, že se dá použít a aplikovat i v těch případech, kdy není dostatečný základ v datech, resp. kde nejsou známy některé hodnoty, např. relativní množstevní zastoupení různých skupin (zde zlodějů a nakupujících). V takovém případě užívá bayesiánská statistika rovnoměrné šance
(v našem případě by to bylo 50 % zlodějů a 50 % nakupujících), za což však bývá kritizována (Bellhouse 2011).
Bayesovská epistemologie
Bayesovská epistemologie je aplikací bayesianismu zejména na problém pravdy. Namísto absolutní pravdy pracuje s pravděpodobností, tedy větší či menší mírou důvěryhodnosti. Jelikož bayesianismus neoperuje přímo s pojmem „pravdy“, nenachází se u něj ani otázka fakticity, resp. vztahu objektivního a subjektivního. Nepracuje ani s pojmy jako „víra“ či „vědění“ (Hartmann 2004, 94–97).
Přesvědčení subjektu, zejména při odhadování budoucnosti, by se měla ztotožňovat s pravděpodobnostním kalkulem podle Bayesovy věty. Postupně pomocí nově získané evidence subjekt svá přesvědčení upravuje. Bayesianismus je pro důležitost empirické báze pro vytváření predikcí často spojován s induktivismem. Bayesiánská epistemologie je vzhledem ke své prediktivní síle považována za velmi utilitární (ostatně bayesiánská metoda je užita v mnoha systémech pro předpovídání, např. počasí či pohybu na burze). Lépe také odolává skepticismu, jelikož málokdy podává tvrzení se stoprocentní mírou jistoty. Výhodou bayesianismu je též jeho matematická báze (Hartmann 2004, 96–98). V souvislosti s logikou se mluví také o bayesovském vyplývání (Fienberg 2006, 1).
Bibliografie
- Bayes, Thomas. 1763. „An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances.“ Philosophical Transactions 53: 370–418. London: The Royal Society.
- Bellhouse, David. 2001. The Reverend Thomas Bayes FRS: a Biography to Celebrate the Tercentenary of his Birth. New York: The University of Western Ontario.
- Bernardo, José. 2006. A Bayesian Mathematical Statistics Primer. València: Universitat de Valéncia.
- Fienberg, Stephen. 2006. „When Did Bayesian Inference Become ‚Bayesian‘?“ Bayesian Analysis 1: 1–40. Dostupné z: http://projecteuclid.org/euclid.ba/1340371071.
- Hartmann, Stephan a Luc Bovens. 2004. Bayesian Epistemology. New York: Oxford University Press.
- Hušková, Marie. 1985. Bayesovské metody: Skripta pro posl. matematicko-fyz. fakulty Univ. Karlovy. Praha: Univerzita Karlova.
Autor hesla
Jakub Raida (2014)
Garant hesla
Lukáš Zámečník
Jak citovat heslo „Bayesianismus“
Raida, Jakub. 2014. „Bayesianismus.“ Encyklopedie lingvistiky, ed. Kateřina Prokopová. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci.
